100, 500 и 1000 - они обозначались соответственно I, V, X, L, С, D и М. Конечно, не случайно у многих народов «ключевыми» числами оказались 5 и 10: это объясняется тем, что счет велся на пальцах (одной или двух рук). Вероятно, отсюда произошли и обозначения римских цифр V (одна «пятерня») и X (две «пятерни»). Знаки С, М и D - это просто первые буквы латинских слов centum (сто), mille (тысяча) и demimille (полутысяча), a L = 50 можно запомнить как «половинку от С = 100», хотя настоящее его происхождение, видимо, иное. Римские цифры можно увидеть на циферблатах часов, часто ими пользуются для обозначения веков, нумерации глав в книге. Изредка на старом доме можно увидеть и большое римское число - год постройки. Числа 2, 3, 4, 8, 9, 14, 19, 20, 40, 1989 в этой римской записи выглядят так: II, III, IV, VIII, IX, XIV, XIX, XX, XL, MCMLXXXIX. Как видно, здесь используется не только сумма, но и разность двух «ключевых» чисел - для этого перед большим из них ставится меньшее; благодаря этому вместо длинной аддитивной записи, скажем LXXXXIIII, получается более короткая XCIV. Интересно, что наиболее древние тексты использовали длинную, аддитивную запись - «правило разности» появилось позднее.

Слайд 10

Единичная непозиционная система счисления

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

В этой системе счисления для записи чисел используется только одна цифра. Ее можно изобразить в виде палочки, кружочка, или любой другой фигуры.

Такая система счисления использовалась, и до сих пор используется в основном народами, не имеющими письменности.

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

ИСТОРИЯ систем счисления

Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир. Иоганн Гете

Так говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. «Все есть число» Современный человек каждый день запоминает номера машин и телефонов, в магазине подсчитывает стоимость покупок, ведет семейный бюджет...

Числа... они с нами везде и всегда. Но в лю б ом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов - цифр. Люди всегда считали и записывали числа, даже пять тысяч лет назад. Но зап исывали они их совершенно по-другому, по другим правилам.

Цифры - это символы, составляющие некоторый алфавит. Что же такое тогда число? Число - это некоторая величина, состоящая из цифр, сложенных по определенным правилам. На разных этапах развития человечества, у разных народов эти правила были различны и сегодня мы их называем системами счисления.

Система счисления - это знаковая система, в которой все числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Непозиционные Позиционные

Итак, рассмотрим различные непозиционные системы счисления. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных.

Сначала люди просто различали ОДИН предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «МНОГО»

Первыми понятиями математики были " меньше ", " больше ", " столько же ". >

Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей.

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось сообщать своим соплеменникам о количестве найденных им предметов. И, т ак как многие народы в древности не общались друг другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

Имена числительные во многих языках указывают, что у первобытного человека орудием счета были преимущественно пальцы. Пальцы оказались прекрасной вычислительной машиной.

Однако известны народы, у которых единицами счёта были не пальцы, а их суставы. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. В древние времена люди ходили босиком. До сих пор существуют в Полинезии племена, использую щие с 20-ую систему счисления.

Например, на крупнейшей мировой хлебной бирже в Чикаго предложения и запросы, как и цены объявляются маклерами на пальцах без единого слова. Пальцевой счет сохранился кое-где и поныне

Появилась потребность в записи чисел. Запомнить большие числа было трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног стали добавлять различные приспособления. Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине…

Единичная («палочная») периоду палеолита 10-11 тысяч лет до н.э. или Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоев, относящихся к Любое число в ней образуется повторением одного знака - единицы.

Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем большие числа становились им нужны. Единичная запись для таких чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа.

2,5 тысяч лет до н.э. Древнеегипетская десятичная = 2342

Число Символ Обозначение 1 Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки. 10 Такими путами египтяне связывали коров 100 Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила. 1 000 Цветущий лотос 10 000 "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец. 100 000 Обычный лягушачий головастик 1 000 000 Число фараонов. Увидев такое число, обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. 10 000 000 Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца

Какое древнеегипетское число записано? 5 3 8 6 4 2 1

С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена. Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию Когда люди стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян, тогда они познакомились с операцией Когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми "ртами", выполнялась операция А операция вычитания? сложения умножения деления

Умножение и деление египтяне производили путем последовательного удвоения чисел. Как же египтяне считали?

Пример. 19 * 31 31 62 124 248 496 и складывали числа, стоящие в отмеченных строках справа (31 + 62 + 496 = 589). Затем отмечали вертикальными черточками строки левого столбца, из которых можно было сложить множитель (19 = 1 + 2 + 16) 1 2 4 16 Египтяне в левом столбце записывали соответствующую степень двойки, а в правом столбце записывали результаты удвоения числа 31.

Египетские дроби всегда имели в числителе единицу (исключение составляло 2/3). Дроби записывались как натуральные числа, только над ними ставилась точка Исключение: специальные знаки были для 1/2 и для 2/3

Римская десятичная I , V, Х, L, C, D, M Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». тысячи лет до н.э. и до наших дней

В римской системе для обозначения чисел используются знаки: I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для других чисел используются заглавные латинские буквы соответствующих латинских слов 50 - L , 100 – С entum , 500 – D emimille , 1000 – M ille , являющиеся «цифрами ».

444 400 40 4 Пример. Записать число 444 в римской системе. (D – C) (L – X) (V – I) CDXLIV

444 CDXLIV ВНИМАНИЕ! Все цифры числа в десятичной системе одинаковые, а в римской – разные.

1986 Пример. Записать число 1986 в римской системе. 9 00 80 6 10 00 MCMLXX X VI M (M – C) (V + I) (L + X + X + X)

Алфавитные системы счисления

Греки применяли несколько способов записи чисел. Афиняне для обозначения чисел пользовались первыми буквами слов-числительных: Греческая (ионийская) Например, I , II , III , IIII - 1, 2, 3, 4  IIII – 10+10+10+4 = 34 Г Г  пять   десять Н  сто X  тысяча М  десять тысяч

Великий греческий математик Диофант Александрийский записыв ал дроби примерно так, как принято сейчас: числитель над знаменателем, без черты. Это был один из способов записи дробей в Древней Греции.

В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие систему Древнего Египта. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради. Звезда – тысяча рублей Колесо – сто рублей Квадрат – десять рублей Х - рубль | - копейку. Древняя Русь 1232 руб. 24 коп.

В IX веке монахами братьями Кириллом и Мефодием Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. была создана новая нумерация вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг.

Мы видим, что запись получилась не длиннее нашей десятичной. Это объясняется тем, что в алфавитных системах использовалось, по крайней мере, 27 «цифр». Пример. Запишем число 444 в славянской системе.

Эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии до реформы Петра I (до конца XVII века). Но до сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 - титло «Аз» «Веди» «Глаголь» «Добро» «Есть» «Зело» «Земля» «Иже» «Фита» «И»

Число Изображение Обозначение 1000 Тысяча 10 000 Тьма 100 000 Легион 1 000 000 Леодр 10 000 000 Ворон 100 000 000 Колода

Правда, славяне, как и греки, умели записывать числа и больше 1000. Для этого к алфавитной системе добавляли новые обозначения. Так, например, числа 1000, 2000, 3000. записывали теми же «цифрами», что и 1, 2, 3..., только перед «цифрой» ставили слева снизу специальный знак. Алфавитные системы удобны только для записи чисел до 1000. Удобны ли алфавитные системы?

Такой способ записи чисел, как в алфавитной системе, можно рассматривать как зачатки позиционной системы, так как в нем для обозначения единиц разных разрядов применялись одни и те же символы, к которым лишь добавлялись специальные знаки для определения значения разряда. Алфавитные системы счисления были мало пригодны для оперирования с большими числами. В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным системам.

Непозиционной системой счисления - называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры не зависит от ее местоположения в записи числа.

Недостатки непозиционной системы счисления 1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел. 2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. 3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Далее рассмотрим позиционные системы счисления. Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

Позиционной системой счисления - называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры зависит от ее местоположения в записи числа. Рассмотрим два числа 52 и 25 . Цифры одни и те же – 5 и 2, а чем эти числа отличаются? П озици ей цифры в числе.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, ..., образовав новую позиционную систему: двоичную, троичную, четверичную и.. .

2 тысячи лет до н.э. Вавилонская шестидесятеричная - единицы - десятки цифры: и - 60 ; 60 2 ; 60 3 ; … ; 60 n 2-ой разряд 1-ый разряд = 60 + 20 + 2 = 82 = 33

И до наших дней сохранились следы счета ш естью десятками. Окружность делят на 360 0 , то есть 6*60 градусов, градус - на 60 минут, а минуту - на 60 секунд. 1 0 360 0 0 До сих пор мы делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд.

Арабский ученый математик (из города Хорезма на реке Аму-Дарья). Мухаммед бен Муса ал-Хорезм ≈ в 850 году н.э. он написал книгу об общих правилах решения арифметических задач при помощи уравнений. Она называлась " Китаб ал-Джебр ". Эта книга дала имя науке алгебре.

Индийские ученые сделали одно из важнейших в математике открытий - изобрели позиционную систему счисления, которой теперь пользуется весь мир. Триста лет спустя (в 1120 г.) эту книгу перевели на латинский язык, и она стала первым учебником "индийской" арифметики для всех европейских городов. Ал-Хорезми подробно описал индийскую арифметику в своей книге.

10 у привычной десятичной системы счисления (десять пальцев на руках). Алфавит: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. 60 придумано в Древнем Вавилоне: деление часа на 60 минут, минуты - на 60 секунд, угла - на 360 градусов. 12 распространили англосаксы: в году 12 месяцев, в сутках два периода по 12 часов, в футе 12 дюймов. 7 используется для счета дней недели Основания, используемые в наши дни

1. Что такое система счисления? 2. Привести примеры позиционных и непозиционных систем счисления. 3. А. С. Пушкин родился в MDCCXCIX году? 4.Что такое основание системы счисления? 5. Система счисления с каким основанием была самой первой? 6. В какой стране впервые стали использоваться специальные обозначения для 100,1000,1000000? 7. Перечислите недостатки непозиционных систем счисления. ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ:

1. Какие числа записаны с помощью римских цифр: МС I Х, L Х V ? 2. Запишите год своего рождения: А) в древнеегипетской системе счисления; Б) в римской системе счисления; В) в древнеславянской системе счисления. Домашнее задание.