Рассмотрим более подробно отражение волн.В частности, отражение волн от среды с большим волновым сопротивлением. По существу, вторая средаявляется преградой. Например, воздух и стена здания.

Запишем уравнения падающей и отраженной волн в виде

В отраженной волне y 2 записана начальная фаза j 0 , равная разности фаз рассматриваемых колебаний, которая может принимать 0 или p , т.к. при отражении фаза результирующейволны может изменяться.

Падающая и отраженная волны отличаются направлением скорости распространения, поэтому перед волновым числом в уравнении (7.47) взят знак “+” При отражении от преграды происходит сложение волн (наблюдается явление интерференции) и возникает стоячая волна, уравнение которой имеет вид

Из уравнения (7.48) заключаем, что в каждой точке стоячей волны наблюдается колебание такой же частоты и периода, но амплитуда волны зависит от координаты х.

Проведем анализ уравнения (7.49).

1. Условие максимума

Фаза амплитуды стоячей волны равна целому числу p , т.е.

Где m =0, 1, 2, ...или .

Найдем координату максимума(пучности ):

Для простоты полагаем значение начальной фазы равной нулю. При таких условиях амплитуда стоячей волны максимальна: , т.к.cos (m p ) =1.

2. Условие минимума

Фаза амплитуды стоячей волны равна нечетному числу p /2:

или .

С учетом того, что j 0 /2=0,для координаты минимума (узел) имеем

;

(7.51)

Свойства стоячих волн

1. Расстояние между узлом и пучностью равно l /4:x пуч - х узел = l /4.

2. Расстояние между соседними узлами или пучностями -l /2, т.е. длина стоячей волны l ст = l /2.

Читателю предлагается самостоятельно проверить результаты выводов по пп.1 и2.

3. В бегущей волне фаза колебаний зависит от координаты Х, рассматриваемой колеблющейся частицы среды. В стоячей же волне все частицы среды между двумя узламисовершают колебания с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами (сифазны), потому что аргумент cos (w t + j 0 /2) в уравнении стоячей волны (7.48) не зависит от координаты Х. При переходе через узел фаза колебаний (j = w t + j 0 /2) изменяется скачком на p , т.к.при этом в амплитуде стоячей волны сомножитель cos (kx + j 0 /2) изменяет свой знак на противоположный.

4. Если волна отражается от среды с большим волновым сопротивлением (неверно говорить “при отражении от более плотной среды”, как это пишут иногда) фаза изменяется на противоположную. При этом происходит потеря половины длины волны, потому что на расстоянии, равном половине длины волны, фаза изменяется на ± p . Поэтому после подстановки в уравнение стоячей волны (7.48), например, при значении j = - p будем иметь

s =2 А sin (kx) sin(w t).

Можно найти координаты узлов и пучностей. Предоставляем проделать это читателю самостоятельно.

Поскольку механические волны являются следствием возникновения деформаций в среде, вызванных источником упругих волн, то относительная деформация среды изменяется по закону

где s - смещение волны; e - относительная деформация среды.

При этом скорость колебания частиц среды в стоячей волне

Следовательно, в стоячей волне e опережаетскорость по фазе на p /2. Поэтому, когда скорость достигает максимума, относительная деформация e обращается в нуль, и наоборот, когда скорость обращается в нуль, относительная деформация e достигаетмаксимума.

Причем амплитуда скорости v a = ½ 2 A w cos ( kx + j 0 /2) ½

и амплитуда относительной деформации смещения e a = ½ 2 Aksin ( kx + j 0 /2) ½

зависят от координаты х по-разному, т.е. в пучностях стоячей волны размещаются пучности скорости и узлы деформаций среды, а в узлах стоячей волны - узлы скорости и пучности деформаций.

В упругой стоячей волне энергия периодически переходит из потенциальной, которая локализована вблизи пучностей деформации, в кинетическую энергию, локализованную вблизи пучностейскорости и, наоборот.

Таким образом, энергия периодически перемещается от пучностей к узлам и, наоборот от узлов к пучностям. Но в самих узлах и пучностях плотность потока энергии равна нулю. Поэтому среднее за период значение плотности потока энергии равно нулю в любой точке стоячей волны, т.к. две бегущие навстречу друг другу волны, образуют стоячую волну и переносят за период равную энергию в противоположных направлениях.

Собственные (резонансные) частоты стоячих волн

На практике в случае свободных колебаний некоторыхфизических систем, например, струн, столбов газа и др. устанавливаются стоячие волны, частоты которых удовлетворяют определенным условиям, т.е. могут принимать только определенные дискретные значения, называемые собственными частотами данной колебательной системы.

Например, в точках закрепления струн или стержней размещаются узлы смещения (пучности деформаций), а на свободных концах стержней - пучности смещения (узлы деформации). При колебаниях воздушного столба в цилиндрической трубке у закрытого конца трубки размещается пучность давления, а у открытого - узел давления.

В качестве примера рассмотрим возникновение стоячих волн при изменении натяжения колеблющейся струны (параметрический резонанс).

Частоты стоячих волн называют собственными или резонансными , т.к. такие колебания сопровождаются резонансными явлениями.

В отличие от пружинного, математического, или физического маятников, которые при колебаниях имеют одну собственную резонансную частоту (одна степень свободы), натянутая струна имеет много резонансных частот. Эти частоты в свою очередь кратны низшей частоте. Более продолжительное время сохраняются те волны, которым соответствуют резонансные частоты. В точках закрепления струны возникают узлы(рис. 7.12).

Рис. 7.12

Для нахождения резонансных частот воспользуемся тем, что длина стоячей волны связана с длиной самой струны:

гдеm = 1, 2, 3, ... и определяет число гармоник.

Например, основной тон (мода) - первая гармоника соответствует пучности, а длина струны ,(m =1; l 1 - длина волны первой гармоники).Для второй гармоники - 2 = l 2 ( m =2; l 2 - длина волны второй гармоники), для третьей - 3 = 2 l 3 /3 (m =3; l 3 - длина волны третьей гармоники) и т.д.

Частоты колебания стоячей волны можно найти по формуле

Замечание: Стоячая волна может существовать только при строго определенных частотах колебаний.

Действительно по условию при отсутствии колебаний на правом конце закрепленной струны, где координата х =, а амплитуда обращается в нуль и фаза равна j = p ,

А ст =2 А ½ cos(kx- p /2) ½

Общий вывод: Полученный результат является необычным для классической физики, потому что k и w могут принимать строго определенные значения:

, .

Наблюдаемое аномальное явление весьма существенно повлияло на разгадку квантовых явлений.

Согласно выводам квантовой теории следует, что все микрообъекты обладают корпускулярными и волновыми свойствами.

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН

Явление интерференции состоит в таком наложении двух (и более) волн, которое приводит к стационарному (не завися­щему от времени) усилению колебаний частиц среды в одних местах и ослаблению (или полному погашению) в других ме­стах пространства. Если в некоторой упругой среде распростра­няются две волны, то каждая частица среды, через

которую проходят обе волны, будет одновременно участвовать в двух независимых колебательных движениях, вызванных каждой вол­ной. Результирующее движение частицы зависит от частот, ам­плитуд и начальных фаз составляющих колебаний. Однако если распространяющиеся волны имеют одинаковые частоты и если они в данной точке пространства вызывают колебания частицы вдоль одной и той же прямой, то возникает либо усиление ко­лебаний, либо их ослабление (погашение), в зависимости от разности фаз составляющих колебаний.

В пространстве всегда найдутся такие точки, в которых раз­ность фаз пришедших колебаний составит 2kπ (где k - целое число). Следовательно, в этих точках будет устойчивое (неиз­менно продолжающееся все время) усиление колебаний частиц среды. Найдутся и такие точки, в которых разность фаз при­шедших колебаний будет равна (2k +1)π . В таких точках про­странства будет наблюдаться устойчивое ослабление колебаний частиц среды. В результате область пространства, в которой волны накладываются одна на другую, будет представлять со­бой чередование участков с усиленным колебанием частиц среды и участков, где колебания частиц ослаблены или частицы вовсе не колеблются.

Понятно, что интерференционная картина возникает только при наложении таких волн, которые имеют одинаковую ча­стоту, постоянную во времени разность фаз в каждой точке про­странства и создают в каждой точке пространства колебания вдоль одной прямой. Волны, удовлетворяющие этим трем ус­ловиям (и источники, их создающие), называют когерентными.

Простейший случай интерференции наблюдается при нало­жении бегущей и отраженной волн. Эти волны когерентны (для них выполняются все три условия когерентности). Наложение таких волн приводит к образованию так называемой стоячей волны.

Смещение в стоячей волне. Запишем уравнения двух плоских волн, имеющих одинаковые частоты и амплитуды и распростра­няющихся в противоположных направлениях:

Суммарное смещение частицы среды с координатой х равно сумме смещений ξ 1 и ξ 2

или (после тригонометрических преобразований):

Это и есть уравнение стоячей волны. Оно показывает, что в ре­зультате наложения прямой и обратной волн точки среды ко­леблются так, что все они одновременно проходят положение равновесия (sin ωt = 0) и все они одновременно достигают своих наибольших отклонений (sin ωt = ± 1).

Можно было бы сказать, что частицы в стоячей волне ко­леблются в одной фазе. Однако в силу того, что множитель имеет алгебраический знак, частицы на самом деле

колеблются либо в одной фазе, если для них имеет одинаковый знак, либо в противофазе, если имеет для них разные знаки.

Для пояснения сказанного на рисунке 4 приведено распределение смещения частиц среды для различ­ных последовательных моментов времени. В моменты вре­мени t 1 и t 5 частицы имеют наибольшие отклонения (если иметь в виду поперечную волну в шнуре, то графики описывают ис­тинное положение частиц в пространстве), при этом скорости их равны нулю. В момент t 3 частицы проходят положение рав­новесия; скорости их максимальны. Для моментов t 2 и t 4 по­казаны распределения смещений между наибольшим и нулевым смещением. На графике выбраны три точки с координатами х 1 , x 2 , x 3 . Для каждого момента времени стрелками показаны скорости этих точек. Из графика видно, что точки х 1 и х 2 колеблются в противофазе, а точки х 1 и x 3 - в одной фазе. Размахи колебаний у разных точек различны. Так, точка 4 колеб­лется в пределах отрезка а , б. Амплитуда колебаний частиц в стоячей волне зависит от их координаты, но не зависит от времени:

Здесь знак модуля поставлен потому, что амплитуда - сугубо положительная величина. В стоячей волне имеются такие точки, которые остаются все время неподвижными. Такие характерные точки называются узлами смещения. Положение их определяется из условия

Это уравнение удовлетворяется при значениях аргумента

где k = 0, 1, 2, ... . Отсюда

График стоячей волны, приведенный на рисунке 6, носит условный характер: на нем показано, в каких пределах колеб­лются различные точки среды, в которой образовалась стоячая волна. На этом графике хорошо видны узлы и пучности смеще­ния.

Особым случаем интерференции являются стоячее волны - это волны, образующиеся при наложении двух бегущих воли, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией.

Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда начальные фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид

Сложив эти уравнения и учитывая, что k =2v /X (см. (154.3)), получим уравнение стоячей волны:

Из уравнения стоячей волны (157.2) вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты w с амплитудой A ст =| 2А cos (2p х/l )|, зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

В точках среды, где

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. В точках среды, где

амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (А ст = 2А ), называются пучностями стоячей волны , а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (A ст =0), называются узлами стоячей волны . Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

Из выражений (157.3) и (157.4) получим соответственно координаты пучностей и узлов:

(157.5)

(157.6)

Из формул (157.5) и (157.6) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны l /2. Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно l /4.

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе (в уравнении (157.1) бегущей волны фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки), все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами (в уравнении (157.2) стоячей волны аргумент косинуса не зависит от х ). При переходе через узел множитель 2A cos (2p x /l ) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на p , т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе.

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае возникает узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникает пучность (рис. 222, а), если более плотная - узел (рис. 222, б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами - образуется пучность.

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн по отдельности. Это вытекающее из опыта утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн .

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга. Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной.

Стоячая волна - это волна, которая образуется при наложении двух волн с одинаковой амплитудой и частотой, когда волны движутся навстречу друг другу.

Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси x в противоположных направлениях:

Сложив эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим:

Чтобы упростить это уравнение, выберем начало отсчета x так, чтобы разность стала равной нулю, а начало отсчета t - так, чтобы оказалась равной нулю сумма .Тогда

- уравнение стоячей волны .

Заменив волновое число к его значением , получим уравнение стоячей волны, удобное для анализа колебаний частиц в стоячей волне:

.

Из этого уравнения видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда колебаний зависит от x :

.

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

,

амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Значения координат пучностей равны:

.

В точках, координаты которых удовлетворяют условию:

,

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения:

.

Из этих формул следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно . Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

На рисунке представлен график отклонений точек от положения равновесия для момента времени t (сплошная кривая) и график отклонений точек для момента времени (пунктирная кривая). Как видно из рисунка точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т.е. в одинаковой фазе).

Стоячая волна не переносит энергию. Дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны, то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны. В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

Стоячие волны образуются при наложении двух одина-ковых волн, бегущих навстречу друг другу. Все, наверное, ви-дели стоячие волны в гитарных струнах. Когда в каком-либо месте оттягивают и отпускают струну, в разные стороны на-чинают разбегаться упругие поперечные волны, которые за-тем отражаются от концов струны и, накладываясь друг на друга, образуют стоячие волны (если при распространении и отражении нет затухания). Как это происходит?

При сложе-нии двух синусоидальных волн с одинаковыми частотой и ам-плитудой, но распространяющихся в разных направлениях оси x, получаем возмущение, которое описывается функцией

F(x, t) = f 0 sin(ωt — kx + φ 1) + f 0 sin(ωt + kx + φ 2) = 2 f 0 cos(kx + (φ 2 — φ 1) / 2) + (φ 1 + φ 2) / 2).

Это и есть уравнение стоячей волны . В каждой точке стоя-чей волны колебания осуществляются по гармоническому закону:

F(x, t) = F 0 sin (ωt + (φ 1 + φ 2) / 2.

Амплитуда колеба-ний

| F 0 | = 2 f 0 | cos(kx + (φ 2 — φ 1) / 2)|

зависит от координа-ты x . В точках, где kx + Δφ / 2 = (n + 1 / 2)π (n — целое чис-ло, Δφ = φ 1 — φ 2), амплитуда F 0 = 0. Такие точки называют узлами стоячей волны , колебания в них отсутствуют. Точ-ки, для которых амплитуда колебаний | F 0 | = 2 f 0 максималь-на, называют пучностями стоячей волны . Расстояние Δx между соседними узлами (или соседними пучностями) рав-но половине длины бегущих волн, из которых образовалась стоячая волна:

Δx = π / k = λ / 2.

В точках между двумя соседними узлами колебания проис-ходят в одинаковой фазе, а амплитуда изменяется от нуля до максимума (в пучности, которая расположена посереди-не между узлами) и опять до нуля. Материал с сайта

При переходе через узел фаза колебаний изменяется на π, так как меняется знак F 0 . В стоячей волне возмущение сре-ды обращается в нуль одновременно во всех точках, и одно-временно во всех точках возмущение достигает максималь-ного по величине значения. Так, звучащая струна через каждый полупериод выпрямляется, а через четверть перио-да после выпрямления принимает «наиболее изогнутую» форму.

Если наблюдать колебания только в одной точке, то невозможно сказать, какая волна — бегущая или стоя-чая — вызвала эти колеба-ния. Но если следить за ко-лебаниями в нескольких точках, то картины колеба-ний в бегущей и стоячей волнах будут совершенно различны. В плоской бегу-щей волне колебания в разных точках происхо-дят с одинаковой амплиту-дой, но в различных фазах. В стоячей волне колебания в разных точках происхо-дят с разными амплитуда-ми, но в одинаковой фазе. Поэтому при наблюдении «целой картины» спутать бегущую и стоячую волны, конечно, невозможно.